作 者： 张江
日 期： 2004.8.5
1、虚数
我们高中都学过虚数，究竟什么是虚数i？i2=-1，这个自然很清楚，然而究竟i意味着什么呢？它是不是就是一种虚幻？
纯粹争论i是否表示虚幻没有任何意义，它仅仅是一个符号。但是，当我们考察圆锥曲线方程的时候，却发现有些东西多么不可思议。
考察下面的方程：
如果a和b都是实数，那么它就是一个椭圆，如图：
当我们固定a不变，而让b2逐渐变小。这个椭圆会越来越扁，以至于当b->0的时候，椭圆蜕变成了一条直线，这条直线就压在x轴上。进一步b2还能更小么？那就只好让b2<0了，这就是说b变成了虚数即b=m i，这里m=|b|是一个实数，那么b2=-m2。这个时候椭圆的曲线就一下子变成了双曲线，也就是：
画出双曲线的图：
当虚数b=m i取遍所有可能的虚数，都有对应的双曲线。其实，这个双曲线从某种角度来说是一个虚椭圆！我们可以想象双曲线虽然在这个坐标平面上是两个分支，然而我们也可以理解为这两个分支相交在无穷远的地方，这样它就还是一个连通的椭圆。再看双曲线的焦点是在图中红色圆圈的地方，而椭圆的焦点是在图形的内侧。看来似乎所有椭圆的性质都能在双曲线上找到对应，这是为什么呢？再看看当b=0的情况，显然分母为0是无意义的。然而利用极限的思想，当b->0，椭圆趋近于一条覆盖了x轴的直线，之后，b变成虚数，双曲线出现了。也就是说那条当b=0的时候相连于两端无穷远的直线是一个从实在的椭圆，到虚幻的"椭圆"（也就是双曲线）的一种纽带。
2、凸透镜成像
还是类似的现象，我们从另一个角度来说明，现在考察凸透镜呈像。
先来解释一些这个图，oo'是一个凸透镜，它的两个焦点用蓝色的圆圈表示出了。蜡烛A发光并通过凸透镜的折射作用会在另一端呈像A'，当A在凸透镜的焦距（焦点到透镜的距离）以外的时候，它的像A'是倒立的实像。之所以说它是实的，是因为如果把一个白布放到A'的位置，我们就能看到一个蜡烛A的影子，这个像的确存在那里了。我们可以画出光的传播轨迹来确定A'的位置，从A发出两条光线，一条穿过透镜的中心，另一条平行于X轴，并由于凸透镜的折射而射向右侧的焦点，这样两条光线的焦点就构成了一个A的实像A'。
当我们把蜡烛逐渐往靠近oo'透镜的方向移动的时候，会看到像A'会逐渐远离，越来越远。而当蜡烛A刚好位于凸透镜的焦点上的时候（如图红色的蜡烛所示），像A'跑到了无穷远的地方。从光学上解释就是两条折射光线平行了。当我们再往右移动蜡烛A的时候，也就是说蜡烛到凸透镜的距离小于了一倍焦距（如图绿色的箭头所示），此时，蜡烛A会在凸透镜的左方呈现一个虚像（我们用A''表示）。之所以说它是虚的，是因为我们把一个白布放到A''的位置上根本看不到任何光线，而如果我们用眼睛通过凸透镜来从右下方看，却会看到一个蜡烛在A''的地方闪闪发光！
这个简单的试验非常平凡，几乎所有高中物理课中都会讲到、做到，它的物理原理也没有什么深奥的，就是简单的凸透镜呈像原理。然而，这个实验不能禁得起我们的仔细推敲和刨根问底。比如我们问：为什么会出现实像->呈像无穷远->虚像的连续过程呢？这难道没有什么更深层次的奥秘么？尤其是联系刚才我们看到的椭圆变换到双曲线的过程会发现这两个过程惊人的相似：
| ・相似之处： | |
| 虚数问题： | 凸透镜问题： |
| 椭圆->无穷长的直线->双曲线（虚椭圆） | 实像->呈像无穷远->虚像 |
我们似乎看到了两个世界：一个是实在的世界（这个世界对应实像、椭圆），另一个是虚幻的世界（对应虚像、双曲线）。而更有意思的是这两个世界都会在无穷远的地方相连。
无穷远是什么？它是一个不可能的量。无穷远的标准定义是：任意给定一个量X，无穷远都要比X更远！那么无穷远比无穷远自己更远么？这就会出现悖论。不信你可以推推看。实际上无穷远既是它自己，又不是它自己。我们可以做一次奇幻的旅行，从一个真实世界出发，走向一个不可能的世界，接下来就会进入一个完全不同的虚幻世界。因此我们从这两个问题中得到结论：
以上讨论的两个问题都很简单，关键在于奇特的解释。一旦能够对已知现象进行完全不同的解释，我们会发现一些奇妙的东西。
